4.3 ANGULOS

Contenido: 8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones.

 

.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de  números enteros.  

Sucesiones y series

Puedes leer una introducción sencilla a las sucesiones en pautas comunes de números.

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

 

 

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)

{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita

{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)

{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás

{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término

{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético

{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"

{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

 

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

	Posición del término
	Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término
	Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

 

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

	Posición del término
	Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término
	Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?
Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

Tipos de sucesiones

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 5n-2  

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 2ⁿ

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.
La regla es x_n = 3ⁿ

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.
La regla es x_n = 4 × 2^-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es x_n = n²

 

Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es x_n = n³

 

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
 

 EJERCICIOS

Estudia la monotonia, la convergencia o divergencia y las cotas de las sucesiones

1a_n = 1, 2, 3, 4, 5, ...n
2a_n = -1, -2,-3, -4, -5, ... -n
3a_n = 2, 3/2, 4/3, 5/4, ..., n+1 /n
4a_n= 2, -4, 8, -16, 32, ..., (-1)^n-1 2ⁿ
5
6

CUARTO BLOQUE

Bloque IV

Aprendizajes esperados

• Representa sucesiones de números enteros a partir de una regla dada y viceversa
• Resuelve problemas que impliquen el uso de ecuaciones de la forma: ax + b = cx + d; donde los coeficientes son números enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos.
• Identifica, interpreta y expresa relaciones de proporcionalidad directa o inversa, algebraicamente o mediante tablas y gráficas.
• Resuelve problemas que implican calcular, interpretar y explicitar las propiedades de la media y la mediana.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

PATRONES Y ECUACIONES

8.4.1 Construcción de sucesiones de números enteros a partir de las reglas algebraicas que las definen. Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética de números enteros.

8.4.2 Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma: ax + b = cx + d y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros, fraccionarios o decimales, positivos y negativos

Forma, espacio y medida

MEDIDA

8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo y análisis de sus relaciones.

Manejo de la información

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

8.4.4 Análisis de las características de una gráfica que represente una relación de proporcionalidad en el plano cartesiano.

8.4.5 Análisis de situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, en las que existe variación lineal entre dos conjuntos de cantidades. Representación de la variación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma: y = ax + b.

ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS

8.4.6 Resolución de situaciones de medias ponderadas

ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA: ax + b = c ; ax + b = cx + d

ECUACIONES LINEALES DE LA FORMA: ax + b = c ; ax + b = cx + d

 Después de haber trabajado el tema de simplificación de fracciones algebraicas y de ecuaciones de la forma: a + x = b  y la forma  ax = b. Resolveremos situaciones problemáticas donde aplicaremos las nuevas formas de ecuaciones considerando las que tu ya conoces así como la combinación de ambas; además realizarás práctica de algunos cuantos ejercicios que te ayuden a familiarizarte más con los despejes de incógnitas, encontrar su valor, la sustitución e igualdad de la ecuación. Para esto también es importante conocer la parte  teórica que nos ayudará a fundamentar lo que vas trabajar.

Para llevar a cabo lo anterior abrirás las páginas de acuerdo al orden indicado donde primero tendrás un acercamiento con la teoría, lo que debes de conocer sobre las ecuaciones y posteriormente abrirás las otras páginas que serán de las actividades y problemas a trabajar así como comprobar tus propias ecuaciones con un programa interactivo. En la parte inferior en color verde titulado “lo que voy a trabajar” encontrarás las indicaciones, los tiempos para entrega de tareas, informes, solución de problemas, etc.

TU PRIMER RETO:

Antes de abrir la carpeta de actividades iniciaremos resolviendo un problema el cual tratarás de encontrar la solución como tú puedas… (dibujos, piedritas, palitos, con aritmética, etc.) y si aceptas el reto aplica lo que sabes y conoces de álgebra. (si obtienes número fraccionario utiliza 2 decimales)

Problema planteado:

Alicia le compró a Alma  4 manzanas rojas y jugosas. Si pagó con un billete de $ 50.00 y le devolvieron $ 12.60 ¿Cuánto costó cada manzana?

El primer reto lo entregarás en 2 días y enviarás tu solución (ecuación si la tienes) a debate a través de tu correo, para que analices con tus compañeros todas las posibles soluciones. Recuerda que debes de poner siempre tu número de lista.

 Esquema a seguir para resolver problemas de ecuaciones de primer grado

Numerosos problemas se pueden resolver planteando una ecuación, de primer o segundo grado, para llegar a la solución buscada. En general, hay que seguir estos pasos o fases:

1. Comprensión del problema. Se debe leer detalladamente el enunciado del problema para identificar los datos y lo que debemos obtener,  puede ser la incógnita x.
2. Designar la incógnita que puede ser cualquier letra
3. Planteamiento de una ecuación. Consiste en traducir el enunciado del problema al lenguaje matemático mediante expresiones algebraicas, para obtener una ecuación.
4. Resolver  la ecuación obtenida.
5. Comprobación y análisis de la solución.

Es necesario comprobar si la solución obtenida es correcta, y, después, analizar si esa solución tiene sentido en el contexto del problema.

Un problema de edades entre Rossy y Bris

Rossy le preguntó a su amiga Bris cuántos años tenía, Bris le contestó:

1 Comprensión del problema:

“Si al triple de los años que tendré dentro de  tres años le restas el triple de los años que tenía hace tres años, tendrás los años que tengo ahora” ¿Cuántos años tiene Bris?

2 Designar la incógnita

3 Planteamiento de la ecuación

Edades de Bris:

Actualmente tiene: x años                 Dentro de 3 años: x + 3         Hace 3 años: x – 3

 Ecuación: 3(x + 3) – 3(x – 3) = x

4 Resolver la ecuación

3(x + 3) – 3(x – 3) = x  

3x + 9 – 3x + 9     = x

                        18 = x                          Bris tiene 18 años

5 Comprobación

3(x + 3) – 3(x – 3) = x  

3(18 + 3) – 3(18 – 3) = 18  

3(21) – 3(15) = 18

63  –  45  = 18

         18  =  18   

PRODUCTOS NOTABLES EJERCICIO 1

CUADRADO DE UN BINOMIO

1. Completa la siguiente tabla:

a	b	a+b	(a + b)²	a²	2·a·b	b²	a² + b²	a² + 2ab + b²
2	3
6	4
2	5
4	2

2. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a  (a + b)²  es

____________________

3. Construye ahora la siguiente tabla:

a	b	a-b	(a - b)²	a²	2·a·b	b²	a² + b²	a² - 2ab + b²
5	2
4	1
2	4
1	3

4. Observando los resultados de la tabla verificamos que la expresión algebraica equivalente a  (a - b)² es

___________________

5. Resuelve los siguientes cuadrados de binomios:

1. (x + 5)²

2. (x - 7)²

3. (a + 1)²

4. (m + 21)²

5. (x - 2)²

6.(x - 18)²

7. (p + 5q)²

8. (x - 3y)²

9. (2x + 6)²

10. (3x - 5)²

11. (6x - 8y)²

12. (0,2x - 3)²

13. (5a - 0,3)²

14. ( - 5)²

15. 

 6. Determina el área del cuadrado cuyo lado mide:

a) x + 12

b) 2x - 1

c) 0,3x + 2

d) 

BLOQUE III -2 Ángulos interiores de polígonos

Ángulos interiores de polígonos

Un ángulo interior es un ángulo dentro de una figura.

Triángulos

Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

90° + 60° + 30° = 180°	80° + 70° + 30° = 180°
¡En este triángulo es verdad!	Vamos a inclinar una línea 10° ... También funciona, porque un ángulo aumentó 10°, pero otro disminuyó 10°

Cuadriláteros (cuadrados, etc.)

(Un cuadrilátero es una figura de 4 lados)

90° + 90° + 90° + 90° = 360°	80° + 100° + 90° + 90° = 360°
Un cuadrado suma 360°	Vamos a inclinar una línea 10° ... ¡también suman 360°!
Los ángulos interiores de un cuadrilátero suman 360°

Porque en un cuadrado hay dos triángulos

Los ángulos interiores de este triángulo suman 180° (90°+45°+45°=180°)

... y los de este cuadrado360° ... ¡porque el cuadrado está hecho de dos triángulos!

Pentágono

Un pentágono tiene 5 lados, y se puede dividir en tres triángulos, así que ... ... sus ángulos interiores suman 3 × 180° = 540° Y si es regular (todos los ángulos son iguales), cada uno mide 540° / 5 = 108° (Ejercicio: asegúrate de que cada triángulo aquí suma 180°, y comprueba que los ángulos interiores del pentágono suman 540°)

La regla general

Así que cada vez que añadimos un lado más (de triángulo a cuadrilátero, a pentágono, etc) sumamos otros 180°al total:

			Si es regular...
Figura	Lados	Suma de los ángulos interiores	Forma	Cada ángulo
Triángulo	3	180°		60°
Quadrilátero	4	360°		90°
Pentágono	5	540°		108°
Hexágono	6	720°		120°
...	...	..	...	...
Cualquier polígono	n	(n-2) × 180°		(n-2) × 180° / n

La última línea puede ser un poco difícil de entender, así que vamos a ver un ejemplo.

Ejemplo: ¿Qué pasa con un decágono (10 lados)?

Suma de los ángulos interiores = (n-2) × 180° = (10-2)×180° = 8×180° = 1440° Y, si es regular, cada ángulo interior = 1440°/10 = 144°

TERCER BLOQUE

BLOQUE III

Aprendizajes esperados

• Resuelve problemas que implican efectuar multiplicaciones o divisiones con expresiones algebraicas.
• Justifica la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o polígono y utiliza esta propiedad en la resolución de problemas
• Resuelve problemas que implican usar la relación entre unidades cúbicas y unidades de capacidad.
• Lee y comunica información mediante histogramas y gráficas poligonales.

SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO

PROBLEMAS MULTIPLICATIVOS

8.3.1 Resolución de cálculos numéricos que implican usar la jerarquía de las operaciones y los paréntesis si fuera necesario, en problemas y cálculos con números enteros, decimales y fraccionarios.

8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

FORMA, ESPACIO Y MEDIDA

FIGURAS Y CUERPOS

8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono.

8.3.4 Análisis y explicitación de las características de los polígonos que permiten cubrir el plano.

MEDIDA

8.3.5 Relación entre el decímetro cúbico y el litro. Deducción de otras equivalencias entre unidades de volumen y capacidad para líquidos y otros materiales. Equivalencia entre unidades del Sistema Internacional de Medidas y algunas unidades socialmente conocidas, como barril, quilates, quintales, etcétera.

MANEJO DE LA INFORMACIÓN

PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES

8.3.6 Representación algebraica y análisis de una relación de proporcionalidad y= kx, asociando los significados de las variables con las cantidades que intervienen en dicha relación.

ANÁLISIS Y PRESENTACIÓN DE DATOS

8.3.7 Búsqueda, organización y presentación de información en histogramas o en gráficas poligonales (de series de tiempo o de frecuencia) según el caso y análisis de la información que proporcionan.

8.3.8 Análisis de propiedades de la media y mediana.